Les bizarreries de Pi, le numéro avec le plus de fans au monde

Le 14 mars : 14/3 ou 14/3 si on le lit en nomenclature anglaise. En disant « trois quatorze », un chiffre apparaît rapidement dans notre esprit qui nous rappelle le lycée. Il est également très possible que lorsque nous l’entendons nous suivions la séquence : quinze, quatre-vingt-douze, soixante-cinq… autant que nous nous souvenions des chiffres du nombre singulier Pi.

Le Congrès américain a officiellement déclaré en 2009 que ce jour, le 14 mars, serait le jour π. L’idée a connu un énorme succès dès sa création, et l’idée a pris de l’ampleur jusqu’à ce qu’en 2019, l’UNESCO l’ait déclarée Journée internationale des mathématiques . Depuis lors, chaque année, de plus en plus de personnes se joignent à la célébration, le π étant le symbole de ceux d’entre nous qui aiment les mathématiques.

Pi n’est pas vraiment un nombre

Commençons par clarifier quelque chose, Pi est la seizième lettre de l’alphabet grec (π) et en mathématiques nous l’utilisons pour représenter quelque chose de bien plus intéressant qu’un nombre (ce que je ne dis pas que les nombres ne le sont pas). Ainsi, la première bizarrerie de Pi est que ce n’est pas un nombre. Mais alors, si ce n’est pas un nombre, qu’est-ce que Pi ?

Pi représente la proportion de la longueur de la circonférence par rapport à son diamètre. Une proportion qui a la particularité (ici sa deuxième rareté) d’être constante, c’est-à-dire d’avoir toujours la même valeur quelle que soit la taille de la circonférence.

En particulier, dans la géométrie euclidienne – que l’on doit à Euclide (325 – 265 avant notre ère) et qui nous assure des choses comme qu’une seule droite passe par deux points – la valeur constante de Pi est si particulière (et il y en a déjà trois eux) comme étant irrationnel

Ce n’est pas qu’il ait perdu la tête mais que, bien qu’il soit le résultat de la division du périmètre par le diamètre, il ne peut jamais s’exprimer comme la division de deux nombres entiers. Si le diamètre d’une roue est une valeur « exacte », sans décimales, l’espace qu’elle parcourra en effectuant un tour ne le sera pas. Mais alors, combien cela coûtera-t-il ? Nous abordons une question clé, la valeur de Pi… mais permettez-moi d’abord de continuer avec une autre de ses bizarreries, la quatrième maintenant.

Pi est transcendant. Ce n’est pas qu’il soit si important qu’il transcende (ça aussi) mais qu’il soit transcendant, sans n. Cette propriété mathématique nous assure que Pi ne sera jamais la solution d’un quelconque polynôme. Polynôme? Vous vous souvenez sûrement de lui pour ses études de mathématiques. Les polynômes sont des équations dans lesquelles l’inconnue apparaît élevée à un ou plusieurs nombres naturels, par exemple x ² + x + 3 = 0.

Eh bien, quels que soient les exposants et les nombres utilisés, il n’existe pas de polynôme pour lequel x vaut Pi. Il convient également de mentionner qu’il s’agit d’une propriété que de nombreux nombres ne satisfont pas . À ce stade, il a déjà été prouvé que Pi est rare mais le meilleur manque toujours. Parlons maintenant de sa valeur.

La valeur insaisissable de Pi

Comme nous l’avons dit au début, la valeur constante de Pi (en géométrie euclidienne) est 3,141592… mais, précisément parce qu’elle est irrationnelle, nous savons qu’elle aura une infinité de décimales. Infinis, comme cela semble être, sans fin et, pour aggraver les choses, dans ce cas, non seulement ils sont infinis mais ils ne suivent aucun modèle. Ils semblent être placés au hasard, tous les chiffres de 0 à 9 ayant la même probabilité d’apparaître. En fait, leurs valeurs peuvent être utilisées comme générateur de nombres aléatoires et il est possible de rechercher parmi elles n’importe quelle séquence de chiffres , même le numéro DNI de toute personne, qui est sûre d’être trouvée quelque part. Cependant, le plus important concernant cette propriété de Pi est qu’elle est devenue une source d’inspiration pour le travail de nombreuses personnes.

Depuis l’Antiquité (il semble que les Babyloniens connaissaient déjà Pi en 2000 avant notre ère), des efforts ont été déployés pour établir sa valeur avec la plus grande précision possible. L’une des premières à porter ses fruits fut notamment celle d’Archimède de Syracuse (287 – 212 av. J.-C.), qui conçut une méthode pour limiter la valeur de cette constante rare.

Archimède a utilisé des polygones inscrits (ceux qui sont situés à l’intérieur du cercle) et circonscrits (ceux qui contiennent le cercle à l’intérieur). De cette façon, la valeur du périmètre du cercle serait toujours comprise entre le périmètre du polygone inscrit et celui du polygone circonscrit. En ajoutant de plus en plus de côtés aux polygones, Archimède a réussi à donner un intervalle de valeurs pour Pi, qui avait une erreur maximale de 0,040% sur la valeur réelle… allez, ferme, ferme.

L’idée d’Archimède fut suivie par bien d’autres de nature très diverse, certaines même du point de vue des probabilités et des statistiques, comme ce fut le cas de Georges-Luis Leclerc (1707-1788), comte de Buffon.

En particulier, Leclerc a rencontré le nombre Pi en essayant de déterminer la probabilité qu’une aiguille lancée sur un ensemble de lignes parallèles tombe sur l’une de ces lignes. Après divers calculs, il arriva à la conclusion que, si les lignes étaient séparées par la même distance que la longueur de l’aiguille, cette probabilité était de 2 divisée par Pi. De cette façon, il était facile d’approcher Pi en lançant de nombreuses aiguilles, en observant la proportion de celles-ci qui coupaient réellement les lignes parallèles et en la comparant avec la probabilité exacte.

Cependant, avec l’arrivée de l’ère informatique, la cinquième bizarrerie de Pi est apparue : être un nombre calculable. En particulier, Alan Turing, en 1936, a défini qu’un nombre est calculable s’il existe un algorithme qui nous permet d’approcher sa valeur avec un nombre prédéterminé de décimales.

63 milliards de décimales de Pi ont été calculées

Partant de ce principe, en 1949, une machine ENIAC a réussi à battre le record établi jusqu’à présent par l’homme et à calculer les 2037 premières décimales de Pi, donnant ainsi le coup d’envoi d’une course qui a atteint 63 milliards de chiffres (européens) avec lesquels il a été calculé en 2021 par une équipe de la Haute école spécialisée du canton suisse des Grisons.

Mais Pi n’est pas seulement une curieuse entité mathématique qui tire les ficelles de la pensée humaine depuis l’Antiquité. Pi est, comme l’assure Rhett Alain, un nombre étonnant qui apparaît naturellement là où on l’attend le moins : dans l’estimation de notre position par GPS, dans le mouvement du pendule d’une horloge murale ou encore dans la manière dont un assistant vocal il est capable de reconnaître que l’utilisateur souhaite, par exemple, raconter une blague.

Mais surtout, Pi est pour nous l’excuse parfaite pour célébrer les mathématiques et tout ce qu’elles nous apportent chaque 14 mars. Bonne Journée Internationale des Mathématiques !

Source : theconversation